Stock Market Volatility and Learning

Authors: Klaus Adam, Albert Marcet, Juan Pablo Nicolini
Journal: The Journal of Finance, Vol. LXXI, No. 1, February 2016
DOI: 10.1111/jofi.12364
Data: U.S. 季度数据, 1927:2 -- 2012:2 (Global Financial Database)

一句话总结

通过在Lucas树型资产定价模型中引入"内部理性"（internal rationality）框架——投资者对价格增长率进行常增益学习而非持有理性预期——本文以RE的微小偏离定量匹配了PD比率波动率、收益率可预测性和股权溢价等五大资产定价事实。

研究问题

标准RE资产定价模型无法解释PD比率的高波动率、收益率的可预测性和股权溢价。如果投资者不知道均衡定价函数，而是通过观察过去的资本利得来学习价格增长率（自指学习），这种RE的微小偏离能否定量地解释这些资产定价异象？

核心贡献

理论创新：从"内部理性"行为公理出发推导学习方程和定价方程，投资者在给定主观信念下最优化但不知道均衡定价函数，形成自指学习的正反馈机制
定量匹配：使用模拟矩估计（MSM）正式估计和检验模型，以4个自由参数匹配10个资产定价统计量，成功复制PD比率波动率、持久性、收益率波动率和可预测性
信念理性检验：证明投资者在有限样本中难以发现自己的信念体系与实际价格过程存在差异——RE的偏离虽然在理论上可检测，但在实际数据长度下统计功效不足

维度1：模型设定

整体方法论框架

本文采用理论建模 + 结构估计 + 统计检验的研究范式，属于计量资产定价领域，而非实验室实验。

模型设定

基础框架： Lucas (1978) 树型资产定价模型的变体，采用标准时间可分CRRA效用函数
关键创新： 放松理性预期（RE）假设，允许投资者对股价行为持有主观信念（subjective beliefs）
"内部理性"（Internal Rationality）： 投资者在给定主观信念下最大化效用，信念体系内部一致（specifies joint distribution of all payoff-relevant variables），但与RE均衡隐含的分布不同
学习机制： 投资者通过观察过去的市场价格（资本利得的实现）来更新对未来价格增长率的预期 -- 这是一个**自指（self-referential）**学习过程

信念更新规则

一般化更新规则（Generic belief updating, eq. 18）： 信念根据预测误差调整方向更新，涵盖最小二乘学习、常增益学习等多种方案
具体实现： 常增益学习（Constant-Gain Learning），源自卡尔曼滤波最优更新
投资者认为风险调整后的价格增长率包含一个持久成分 $b_t$ 和暂时成分 $\varepsilon_t$ ，通过观察无法区分两者，因此面临信号提取问题

数据与估计策略

数据来源： SP 500 综合价格指数、SP 500 总回报指数、90天国库券利率、CPI，均来自 Global Financial Database
样本期间： 1927:2 至 2012:2（季度频率）
估计方法： 模拟矩估计法（Method of Simulated Moments, MSM），改编自 Duffie and Singleton (1993)
待匹配矩： 10个资产定价统计量（Table I），包括PD比率均值/标准差/自相关、收益率波动率、超额收益可预测性、股权溢价等
自由参数： 4个 -- 贴现因子 $\delta$ 、增益参数 $1/\alpha$ 、股利增长均值 $a$ 、股利增长标准差 $\sigma_{\Delta D/D}$
模型检验： 使用 $\hat{W}_N$ 统计量进行整体拟合优度检验（卡方分布），以及逐个矩的 $t$ -统计量检验

稳健性与信念理性检验

Proposition 1 的可检验限制（Restrictions 1--4）： 从信念体系推导出的二阶矩限制，用实际数据和模拟数据分别检验
使用工具变量法（GMM）、Arellano-Bond 差分检验等方法检验信念体系的合理性

维度2：主要结果

效用函数与预算约束

投资者 $i$ 最大化主观期望效用：
$ $E_0^{\mathcal{P}} \sum_{t=0}^{\infty} \delta^t \frac{(C_t^i)^{1-\gamma}}{1-\gamma} \quad \text{(eq. 4)}$ $
其中 $\mathcal{P}$ 为主观概率测度（不等于RE隐含的客观分布）。

预算约束：
$ $C_t^i + P_t S_t^i + B_t^i \leq (P_t + D_t) S_{t-1}^i + (1+r_{t-1}) B_{t-1}^i + Y_t \quad \text{(eq. 6)}$ $

一阶条件（Euler方程）

(C_t^i)^{-\gamma} P_t = \delta E_t^{\mathcal{P}} \left[ (C_{t+1}^i)^{-\gamma} P_{t+1} \right] + \delta E_t^{\mathcal{P}} \left[ (C_{t+1}^i)^{-\gamma} D_{t+1} \right] \quad \text{(eq. 8)}

核心定价方程

定义风险调整后的价格增长预期：
$ $\beta_t \equiv E_t^{\mathcal{P}} \left( \left( \frac{C_{t+1}}{C_t} \right)^{-\gamma} \frac{P_{t+1}}{P_t} \right) \quad \text{(eq. 14)}$ $

均衡股价为：
$ $\boxed{P_t = \frac{\delta \beta_t^D}{1 - \delta \beta_t} D_t} \quad \text{(eq. 15)}$ $

在假设2（投资者知道风险调整股利增长过程）下简化为：
$ $P_t = \frac{\delta a^{1-\gamma} \rho_\epsilon}{1 - \delta \beta_t} D_t \quad \text{(eq. 16)}$ $

RE基准： $P_t^{RE} = \frac{\delta a^{1-\gamma} \rho_\epsilon}{1 - \delta a^{1-\gamma} \rho_\epsilon} D_t$ (eq. 10)，此时PD比率为常数。

收益率波动分解

\text{var}\left(\ln \frac{P_t}{P_{t-1}}\right) \simeq \text{var}\left(\ln \frac{1-\delta\beta_{t-1}}{1-\delta\beta_t}\right) + \text{var}\left(\ln \frac{D_t}{D_{t-1}}\right) \quad \text{(eq. 17)}

当 $\beta_t$ 接近 $\delta^{-1}$ 时，信念的微小波动即可显著放大收益率波动。

常增益学习的信念更新

\beta_t = \beta_{t-1} + \frac{1}{\alpha} \left( \left(\frac{C_{t-1}}{C_{t-2}}\right)^{-\gamma} \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}} - \beta_{t-1} \right) \quad \text{(eq. 26)}

最优（卡尔曼）增益为 $1/\alpha = (\sigma_0^2 + \sigma_\xi^2) / (\sigma_0^2 + \sigma_\xi^2 + \sigma_\varepsilon^2)$ 。

加入投影设施（projection facility）后的修正版本：
$ $\beta_t = w \left( \beta_{t-1} + \frac{1}{\alpha} \left[ \left(\frac{C_{t-1}}{C_{t-2}}\right)^{-\gamma} \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}} - \beta_{t-1} \right] \right) \quad \text{(eq. 27)}$ $
其中 $w: \mathbb{R}_+ \to (0, \beta^U)$ 为凹递增可微函数，确保 $\beta_t < \beta^U < \delta^{-1}$ 以保证正均衡价格。

动量与均值回归的解析结果

动量（Momentum）： 若 $\Delta\beta_t > 0$ 且 $\beta_t \leq a^{1-\gamma}(\varepsilon_t^c)^{-\gamma}\varepsilon_t^d$ ，则 $\Delta\beta_{t+1} > 0$ （eq. 24）。

均值回归（Mean Reversion）： 在无冲击情况下，对任意初始 $\beta_t \in (0, \beta^U)$ ：
$ $\limsup_{t\to\infty} \beta_t \geq a^{1-\gamma} \geq \liminf_{t\to\infty} \beta_t$ $

遍历性与小偏离

命题（Stationarity, Ergodicity, and Small Deviations from RE）： 当信念按 eq. 27 演化、价格由 eq. 16 决定时， $\beta_t$ 具有几何遍历性（geometrically ergodic）。当 $1/\alpha \to 0$ 时， $E[\beta_t] \to a^{1-\gamma}\rho_\epsilon = \beta^{RE}$ 且 $\text{VAR}(\beta_t) \to 0$ 。

MSM估计目标函数

\hat{\theta}_N = \arg\min_\theta \left[\hat{S}_N - \tilde{S}(\theta)\right]' \hat{\Sigma}_{S,N}^{-1} \left[\hat{S}_N - \tilde{S}(\theta)\right] \quad \text{(eq. 29)}

整体拟合优度检验统计量：
$ $\hat{W}_N \equiv N \left[\hat{S}_N - \tilde{S}(\hat{\theta}_N)\right]' \hat{\Sigma}_{S,N}^{-1} \left[\hat{S}_N - \tilde{S}(\hat{\theta}_N)\right] \to \chi^2_{s-4} \quad \text{(eq. 30)}$ $

维度3：数值分析与校准

定性结果：学习产生动量和均值回归

自指学习的反馈机制： 当投资者预期价格增长率上升 -> 实际价格上升 -> 验证了更高的增长预期 -> 信念进一步上调。这种正反馈产生价格动量
均值回归： 信念不会无限偏离RE值。由于信念被 $\beta^U < \delta^{-1}$ 约束，以及更新增益有限，信念最终会回归到RE值附近，产生均值回归
相图分析（Figure 2）展示了 $(\beta_t, \beta_{t-1})$ 平面上的椭圆式运动，对应PD比率的繁荣-萧条周期

定量结果：匹配五大资产定价事实

Table I 中的五大事实：

事实	指标	数据值
事实1	PD比率波动率 $\sigma_{PD}$	62.43
事实2	PD比率持久性 $\rho_{PD,-1}$	0.97
事实3	超额收益波动率 $\sigma_{r^s}$	11.44
事实4	超额收益可预测性 $R_5^2$	0.2102
事实5	股权溢价 $E_{r^s} - E_{r^b}$	2.10%

估计结果概要

$\gamma = 5$ （中等风险厌恶）的估计（Table II & III）：

模型成功匹配事实1--4：所有个别矩的 $t$ -统计量绝对值均低于2
估计增益系数 $1/\hat{\alpha}_N \approx 0.0073$ ：投资者仅将预测误差的约0.7%纳入信念更新，说明这确实是RE的微小偏离
排除风险溢价后，模型通过整体拟合检验（ $p = 2.5\%$ 或 $p = 7.1\%$ ）
模型产生约1%/季度的股权溢价（数据为2.1%），约为数据值的一半

$\gamma = 3$ （低风险厌恶）： 表现类似， $p$ -value提升至7.1%

$\gamma = 80$ （高风险厌恶，对标 Campbell and Cochrane 1999）（Table IV）：

模型成功匹配所有矩，包括股权溢价（模型2.0% vs. 数据2.1%）
所有 $t$ -统计量绝对值低于2，多数低于1
但整体拟合检验的 $p$ -value 趋近于0，说明联合检验比逐个匹配更严格

股权溢价的机制

学习模型产生正的事后股权溢价，即使风险中性（ $\gamma=0$ ）也如此
机制来自Jensen不等式效应： PD比率出现在总回报的凸函数中，当PD比率波动性更高时（学习模型 vs. RE模型），凸性效应使得平均回报更高

信念理性检验（Tables V--IX）

实际数据检验： 信念体系隐含的所有二阶矩限制（Restrictions 1--4）在5%水平下均未被拒绝（Table V & VI）
模拟数据检验： 在短样本（60--100个季度）中，拒绝率接近名义水平5%；长样本中部分检验的拒绝率升高，提示模型可进一步改进
结论：投资者在观察市场数据后难以发现自己的信念体系与实际价格过程存在差异

RE模型的对比

RE模型下PD比率为常数 -> $\sigma_{PD} = 0$ , $R_5^2 = 0$ , 收益率波动率 $\approx \sigma_{\Delta D/D}$ -- 与数据严重不符
即使 $\gamma = 80$ 也无法在RE下产生足够的风险溢价（ $\rho_{c,d} = 0.2$ 时）

维度5：与其他文献的关系

在学习与资产定价文献中的位置

本文是自适应学习（adaptive learning）在资产定价中的里程碑论文，发表于金融学顶刊 Journal of Finance。

与贝叶斯RE学习文献的区别：

Timmermann (1993, 1996), Brennan and Xia (2001), Cecchetti, Lam, and Mark (2000) 等假设投资者学习股利或收入过程，但知道价格如何由基本面映射。在这些模型中，股价是冗余信息，不存在从价格到信念的反馈。本文论证这种假设等同于投资者完全知道均衡定价函数 $P_t(\cdot)$ ，过于严格
本文的关键创新在于投资者学习价格增长率本身，形成自指学习问题，正是这种自指性产生了数据中观察到的动量和均值回归

与自适应学习文献的联系：

Branch and Evans (2010, 2011), Lansing (2010), Bullard and Duffy (2001) 等研究自适应学习下的资产价格行为
本文的贡献在于：(1) 从内部理性行为推导学习和定价方程；(2) 使用正式的结构估计和检验（而非校准）；(3) 证明模型能定量匹配波动率事实

理论基础：

Adam and Marcet (2014, Journal of Economic Theory) 提出"内部理性"框架的理论基础，证明理性行为与不知道均衡定价函数是兼容的
Lucas (1978) 提供基础的交换经济模型

与行为金融的关系：

借鉴了 Shiller (2005) 等行为金融文献对偏离RE的兴趣
但保持最小偏离：投资者仍是效用最大化的、信念内部一致的 -- 只是不知道确切的定价函数

方法论贡献：

使用 MSM + delta方法处理非线性统计量匹配，改编 Duffie and Singleton (1993)
提供整体拟合优度检验（ $\hat{W}_N$ ），在消费型资产定价文献中较为罕见（Bansal, Kiku, and Yaron 2013 是少数例外）

对后续文献的影响

为**经验驱动的信念外推（extrapolation）**模型提供了严格的微观基础
与实验经济学中的信念更新研究有概念性联系：投资者根据过去结果更新信念的方式（常增益学习）呼应了行为实验中观察到的近因偏差（recency bias）
该框架被后续工作拓展至多种资产类别和宏观经济设定

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维度4：局限性

代表性代理人假设：模型假设同质投资者，无法刻画异质信念和交易量。真实市场中投资者对价格增长率的学习速度和信念可能高度异质
常增益学习的外生性：增益参数 $1/\alpha$ 被估计为约0.0073，但为何投资者选择这个特定的学习速度缺乏内生解释。Adam and Marcet (2014) 提供了部分理论基础，但完整的最优增益选择理论仍缺失
Projection facility的任意性：为保证正均衡价格需要引入 $w(\cdot)$ 函数约束信念不超过 $\beta^U < \delta^{-1}$ ，这一技术处理缺乏经济学直觉
股权溢价的部分匹配：在中等风险厌恶（ $\gamma = 5$ ）下模型仅产生约1%/季度的股权溢价（数据为2.1%），需要不合理的高风险厌恶（ $\gamma = 80$ ）才能完全匹配
整体拟合检验的张力：虽然逐个矩匹配良好，但 $\gamma = 80$ 时整体拟合检验的p值趋近于0，说明联合检验仍对模型施加压力
单一资产设定：仅考虑一个风险资产，未涉及多资产组合、跨资产信念溢出等更复杂的现象

维度6：可拓展的研究方向

异质代理人扩展：引入不同增益参数或不同学习规则的投资者，研究信念异质性对交易量和价格波动的影响
内生增益选择：让投资者根据预测表现内生地调整学习速度，可能产生时变的增益参数和更丰富的价格动态
多资产和跨市场传染：将框架推广到多资产设定，研究自指学习如何导致跨资产的信念传染和co-movement
与实验数据对接：将模型的常增益学习预测与实验资产市场（如Bao_2019_Impact_Interest_Rate_Policy）中观察到的个体预测策略进行对比
宏观经济应用：将框架嵌入DSGE模型，研究自指学习下的货币政策传导和宏观经济波动

关键结论

投资者对价格增长率的自指学习（将预测误差的约0.7%纳入信念更新）产生了正反馈机制：乐观预期→价格上涨→验证乐观→进一步上调预期，这种RE的微小偏离即可定量解释PD比率的高波动率和收益率的可预测性
信念体系在有限样本下难以与RE区分（所有二阶矩限制均未被拒绝），这为"为什么投资者不会学会RE"提供了解释——自指学习是一个自洽的、在有限数据下无法被拒绝的信念体系

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