Capital Asset Prices with Heterogeneous Beliefs

Authors: Haim Levy, Moshe Levy, Golan Benita
Journal: The Journal of Business, Vol. 79, No. 3, May 2006, pp. 1317--1353
DOI: 10.1086/500678
Affiliation: Hebrew University of Jerusalem

一句话总结

在 Sharpe-Lintner CAPM 框架内仅放松"同质信念"一个假设，证明只要信念分歧无偏（ $E[\tilde\varepsilon_{ik}]=0$ ）且市场足够大（ $K\to\infty$ 且 $n\to\infty$ ），即使两基金分离不再成立、投资者持有不同非效率组合，CAPM 均衡定价与线性 SML 关系仍然成立；模拟显示这一收敛在现实大型市场中具有定量上的实际意义。

研究问题

当放弃 CAPM 的"同质信念"假设、允许投资者对期望收益持有不同（但无偏）信念时，是否仍能得到 CAPM 风险-收益关系？
在有限规模市场（有限 $K$ 投资者、有限 $n$ 资产）中，异质信念引起的 CAPM 偏差有多大？
收敛至 CAPM 价格的关键条件是什么——投资者数量、资产数量还是两者同时？
异质信念是否能解释 CAPM 的经验失败？
投资者持有不同（非效率）组合这一普遍经验观察是否与 CAPM 风险-收益关系矛盾？

核心贡献

最弱信息假设下的 CAPM 鲁棒性证明：不要求理性预期、不要求价格揭示信息、不要求投资者具备完全理性，只要信念分歧无偏且方差有界，CAPM 在大市场极限中即成立。
两基金分离不必要性：明确分离了"两基金分离定理"与"CAPM 定价"——前者在异质信念下失败，但后者在大市场下仍然成立，从而调和理论与"投资者持有不同组合"经验事实之间的张力。
关键收敛条件的识别：证明 $K\to\infty$ 单独不够，必须同时 $n\to\infty$ ，因为只有在大资产环境下投资比例 $\tilde x_{ik}$ 才会变为 $\tilde\varepsilon_{ik}$ 的线性函数，从而使大数定律生效。
定量评估有限市场偏差：通过 5 资产 vs 20 资产 vs Fama-French 25 组合的数值模拟，给出有限市场中 CAPM 偏差的实际量级（ $R^2$ 从 67% 到 99.9% 不等），便于实证研究者判断异质信念在何种环境下重要。
CAPM 经验失败的归因导向：结论暗示异质信念不太可能是 CAPM 经验失败的根源，研究者应将注意力转向均值-方差假设、市场组合代理（Roll 1977 批判）、事前 vs 事后参数等其他方向。
无偏性的关键作用：明确指出若信念存在系统偏差（如整体过度乐观）或与财富相关（大投资者系统性乐观），CAPM 不再成立，为研究信念偏差与资产价格的相互作用指明方向。

维度1：综述框架与组织结构

整体方法论框架

本文采用数学证明 + 数值模拟的研究范式，在Sharpe-Lintner单期CAPM框架内，放松同质信念假设，考察异质信念对均衡资产价格和风险-收益关系的影响。

理论分析方法

基础框架： Sharpe (1964) 单期离散CAPM，采用均值-方差优化
关键修改： 仅放松一个假设 -- 将同质信念（homogeneous beliefs）替换为异质信念（heterogeneous beliefs），保持所有其他CAPM假设不变
异质信念建模： 投资者对期望收益率存在分歧，但对方差-协方差矩阵 $\Sigma$ 达成一致。第 $k$ 个投资者对资产 $i$ 的期望收益为 $\tilde{\mu}_{ik} = \mu_i(1 + \tilde{\varepsilon}_{ik})$ ，其中 $\tilde{\varepsilon}_{ik}$ 为分歧因子，满足 $E[\tilde{\varepsilon}_{ik}] = 0$ （无偏性）
证明策略： 分两步 -- 先证明当 $n \to \infty$ 时投资比例 $\tilde{x}_{ik}$ 关于 $\tilde{\varepsilon}_{ik}$ 变为线性；再利用大数定律证明当 $K \to \infty$ 时均衡价格收敛至CAPM价格

数值模拟设计

模拟市场规模： 5只股票市场和20只股票市场两种
投资者数量 $K$ ： 分别取100、1,000、10,000
异质性程度： $\tilde{\varepsilon}_{ik}$ 服从均值为0、标准差为30%的正态分布
每组参数运行10次模拟（不同 $\varepsilon$ 实现），报告回归结果
评估指标： 对异质市场均衡参数 $(\mu_i^*, \beta_i^*)$ 进行SML回归 $\mu_i^* = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i^* + e_i$ ，检验其与标准SML的接近程度（ $R^2$ 及系数值）
扩展分析： 无相关资产、有相关资产、使用Fama-French 25组合的经验参数

维度2：核心内容梳理

同质信念CAPM基准

最优投资比例：
$ $x_i = \frac{\sum_{j=1}^{n} V_{ij}(\mu_j - r)}{\sum_{h=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} V_{hj}\mu_j - r \sum_{h=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} V_{hj}} \quad \text{(eq. 1)}$ $
其中 $V$ 为 $\Sigma$ 的逆矩阵。

市场出清均衡价格：
$ $P_{i0} = x_i \sum_{k=1}^{K} \frac{T_k}{N_i} \quad \text{(eq. 2)}$ $

异质信念市场模型

投资者 $k$ 对资产 $i$ 的主观期望收益： $\tilde{\mu}_{ik} = \mu_i(1 + \tilde{\varepsilon}_{ik})$ ， $\tilde{\varepsilon}_{ik}$ 为i.i.d.随机变量， $E[\tilde{\varepsilon}_{ik}] = 0$ 。

投资者 $k$ 的最优投资比例（异质信念下）：
$ $\tilde{x}_{ik} = \frac{\sum_{j=1}^{n} V_{ij}(\tilde{\mu}_{jk} - r)}{\sum_{h=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} V_{hj}\tilde{\mu}_{jk} - r \sum_{h=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} V_{hj}} \quad \text{(eq. 4)}$ $

异质市场均衡价格：
$ $P_{i0}^* = \sum_{k=1}^{K} \frac{T_k \tilde{x}_{ik}}{N_i} \quad \text{(eq. 5)}$ $

异质与同质市场参数关系

均衡收益率、方差、协方差及beta：
$ $\mu_i^* = \frac{\bar{P}_{i1} - P_{i0}^*}{P_{i0}^*}, \quad \sigma_i^{*2} = \frac{\text{Var}(\tilde{P}_{i1})}{P_{i0}^{*2}}, \quad \sigma_{ij}^* = \frac{\text{Cov}(\tilde{P}_{i1}, \tilde{P}_{j1})}{P_{i0}^* P_{j0}^*} \quad \text{(eq. 6a)}$ $

异质市场SML关系（含额外偏差项）：
$ $\mu_i^* = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i^* + \left[(1 + \gamma_0)\left(\frac{P_{i0}}{P_{i0}^*} - 1\right)\right]$ $
方括号中的额外项依赖于资产 $i$ ，导致 $\mu_i^*$ 与 $\beta_i^*$ 关系偏离线性。当 $K \to \infty$ 且 $n \to \infty$ 时该项趋于零。

定理1（核心收敛定理）

在无限市场（ $K \to \infty, n \to \infty$ ）中，对于不相关资产，若投资者信念无偏（ $E[\tilde{\varepsilon}_{ik}] = 0$ ）且方差有界，则异质市场均衡价格收敛至同质CAPM均衡价格：
$ $P_{i0}^* \to P_{i0} \quad \text{as } K \to \infty, n \to \infty$ $

关键中间步骤： 当 $n \to \infty$ 时（不相关资产情形），
$ $\tilde{x}_{ik} \to x_i + x_i \frac{\mu_i}{\mu_i - r} \tilde{\varepsilon}_{ik} \quad \text{(eq. 14)}$ $
即投资比例成为 $\tilde{\varepsilon}_{ik}$ 的线性函数。此时由大数定律， $E[\tilde{x}_{ik}] = x_i$ ，故 $x_i^* \to x_i$ 。

维度3：领域评估

理论结果

CAPM定价的鲁棒性： 即使两基金分离定理不成立（投资者持有不同的、非效率的投资组合），在大市场中CAPM均衡定价和线性风险-收益关系依然成立
收敛需要两个条件同时满足： $K \to \infty$ （投资者数量）和 $n \to \infty$ （资产数量）。仅有大量投资者而资产数量少是不够的，因为此时 $x_{ik}$ 关于 $\varepsilon_{ik}$ 的非线性无法消除
无偏性是关键条件： 若信念存在系统偏差（如整体过度乐观 $E[\tilde{\varepsilon}_{ik}] > 0$ ）或信念与财富相关（如大投资者系统性乐观），则CAPM定价不再成立
非线性效应的直觉： 即使 $\varepsilon$ 分布对称且无偏， $+\varepsilon$ 和 $-\varepsilon$ 对需求的影响不对称（ $-40\%$ 偏差的影响远大于 $+40\%$ 偏差），因此少量资产时异质信念不会自行抵消

数值模拟结果

不相关资产

5只股票市场： 异质市场价格显著偏离CAPM。SML*斜率系统性高于SML。即使 $K = 10,000$ ， $R^2$ 平均仅约67%
20只股票市场： 收敛显著改善。 $K = 10,000$ 时， $R^2$ 平均达约97%，SML*与SML几乎重合
投资者福利损失： 在20只股票、1,000投资者、30%异质性因子下，投资者组合位于CML下方，平均期望收益损失0.82%，最大损失4.54%

经验参数（Fama-French 25组合，高相关）

使用1926--2001月度数据的经验均值、方差、协方差（平均相关约0.75）
$K = 100,000$ 投资者，异质性因子10%时 $R^2$ 平均99.9%；20%时97.7%；30%时85.2%
即使30%异质性，投资比例回归 $x_i^* = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$ 的原假设 $\alpha = 0, \beta = 1$ 无法被拒绝

维度5：与其他文献的关系

文献定位

本文位于CAPM鲁棒性检验与异质信念资产定价的交叉领域，直接回应Lintner (1969)开创的异质信念均衡分析传统。

与前期文献的区别

文献	主要差异
Lintner (1969)	首次分析异质信念CAPM，但假设负指数效用函数，未推导关于SML的预测
Williams (1977)	连续时间异质信念CAPM，但投资者通过学习信念最终趋同；本文中信念始终异质
Admati (1985)	REE框架，资产供给已知时价格完全揭示信息，所有人持有市场组合；本文中价格不揭示信息
Biais, Bossaerts & Spatt (2003)	REE框架，CARA偏好，信号精度相同；两基金分离不成立但CAPM定价成立（与本文结论类似），但价格部分揭示信息
DeMarzo & Skiadas (1998)	"准完全"经济中分析CAPM，异质信念来自私人信息，无私人信息者持有相同组合
Basak (2005)	代表性投资者方法，连续时间框架

本文的独特贡献

最弱的信息假设： 不要求理性预期，不要求价格揭示信息，投资者可以是有限理性的（boundedly rational）
直接在Sharpe-Lintner框架内操作： 仅修改一个假设（同质信念），保持框架纯净性
提供偏离程度的定量估计： 通过模拟量化有限市场中CAPM偏差的大小，而非仅证明极限收敛
解释CAPM经验检验失败的原因： 结论暗示异质信念不太可能是CAPM经验表现不佳的原因，问题更可能在于其他假设或经验方法论（如Roll (1977)批判、事后数据替代事前参数）

核心启示

在现实大规模资本市场中（数千只资产、数百万投资者），异质但无偏的信念对CAPM定价的影响微乎其微
投资者持有不同组合这一经验观察与CAPM风险-收益关系并不矛盾
CAPM经验检验的失败应从其他方向寻找解释：均值-方差决策假设的合理性、市场组合代理的选择（Roll批判）、事前参数不可观测等

维度4：局限性

静态单期框架：基于 Sharpe (1964) 单期 CAPM，未涵盖多期跨期预算约束、消费-投资联合决策、生命周期效应等动态议题。
无偏信念假设苛刻：所有结果依赖 $E[\tilde\varepsilon_{ik}]=0$ ，但行为金融大量证据（如过度自信、外推、悲观偏差）显示信念分歧通常并非无偏；本文未刻画偏差信念下的均衡。
信念与财富独立的隐含假设：若富裕投资者系统性乐观（或悲观），即使个体层面无偏，加权后均衡价格也会偏离 CAPM；本文未深入分析。
方差-协方差矩阵同质性假设：投资者对 $\Sigma$ 的看法被假设一致，但实证中投资者对风险的感知同样异质（如波动率预测分歧）。
数值模拟参数选择：30% 异质性因子是否反映真实市场分歧水平缺乏直接经验校准；不同分歧水平下结果可能差异很大。
未与流动性、做空约束、卖空成本互动：现实中异质信念的影响通常被卖空约束放大（Miller 1977；Harrison-Kreps 1978），本文模型缺少这些摩擦。
未考虑学习与信念演化：投资者信念在交易中是否更新、是否趋同未被建模；与 Williams (1977) 等学习模型对话不足。
均值-方差假设未被放松：本文聚焦于异质信念对 CAPM 的影响，但保留了均值-方差最优化假设；前景理论、CRRA、稳健决策下结论是否稳健未明。

维度6：与其他文献的关系（双链补充）

异质信念与混沌动力学（Brock-Hommes 模型）：Brock_Hommes_1998_HeterogeneousBeliefs_Chaos
学习模型下的股市波动：Adam_Marcet_2016_StockMarketVolatility_Learning
信念分歧与组合选择：Meeuwis_BeliefDisagreement_PortfolioChoice
异质信念下的预测市场价格：He_Treich_2017_PredictionMarketPrices_HeterogeneousBeliefs
情绪、投机与异质信念资产定价：Martin_Papadimitriou_2022_Sentiment_Speculation_HeterogeneousBeliefs
专家预测与异质信念泡沫：Zong_2014_ExpertPrediction_HeterogeneousBeliefs_Bubbles
美丽竞赛与交易量：Biais_1998_BeautyContest_TradingVolume
收益外推 X-CAPM 的异质投资者类型：Barberis_2015_XCAPM_Extrapolative
资产定价中的收益外推：AssetPricing_2022_ReturnExtrapolation

维度7：可拓展的研究方向

偏差信念下的均衡：将 $E[\tilde\varepsilon_{ik}]=\mu_\varepsilon\neq 0$ 引入模型，刻画系统性乐观/悲观对均衡价格、风险溢价、定价误差的影响；与 Brunnermeier-Parker 最优期望模型对接。
信念-财富相关的异质性：若富裕投资者系统性乐观（如 SES 与信念的相关性），均衡价格如何偏离 CAPM？是否产生稳定的"smart money"溢价？
结合做空约束：在 Miller (1977) 框架下，异质信念 + 做空约束如何与本文的"无偏 → CAPM"结论互动？
动态扩展：将本文嵌入多期模型，考察学习与信念更新如何影响收敛速度；与 Adam-Marcet 学习模型对接。
与 X-CAPM 整合：将 Barberis et al. (2015) 的外推/均值回复异质类型嵌入本文框架，定量评估有限投资者数量下的均衡偏差。
实证检验：使用 Giglio et al. (2021) 的信念调查数据，检验"信念分歧对均衡价格的影响"是否与本文模拟结果一致。
加密货币市场：在投资者数量不大、信念分歧极端的加密货币市场，检验本文 CAPM 偏差预测的可观察含义。
均值-方差以外：将均值-方差替换为前景理论或鲁棒决策，研究异质信念对 BPT-CAPM、稳健均衡的影响。
机构化与 ETF 时代的影响：随着被动投资和 ETF 的兴起，市场组合趋同程度提高，本文的"大 K + 大 n"条件如何影响实际定价偏差？

关键结论

在 Sharpe-Lintner CAPM 中放松同质信念假设（保留均值-方差等其他假设），只要信念分歧无偏且方差有界，CAPM 均衡定价与线性 SML 关系在大市场极限（ $K\to\infty$ 且 $n\to\infty$ ）下仍然成立。
收敛需要投资者数量与资产数量同时趋于无穷——大量投资者但少量资产不够，因为单只资产上需求关于信念偏差的非线性无法消除。
即使两基金分离定理在异质信念下失败（投资者持有不同非效率组合），CAPM 风险-收益关系仍可成立——这一区分调和了 CAPM 理论与"投资者组合异质"的经验观察。
数值模拟显示：5 资产市场偏差大（ $R^2≈67\%$ ），20 资产市场偏差小（ $R^2≈97\%$ ），Fama-French 25 组合在 30% 异质性下 $R^2$ 仍达 85%，表明在现实大型市场中异质无偏信念对 CAPM 的影响微乎其微。
CAPM 的经验失败应从其他方向解释（均值-方差假设、市场组合代理选择 Roll 批判、事前 vs 事后参数），异质信念本身不太可能是主要原因，但若信念存在系统偏差或与财富相关则结论改变。

关键术语

两基金分离定理（Two-Fund Separation Theorem）： CAPM下所有投资者持有相同的风险资产组合（市场组合），仅在风险资产与无风险资产间的配置比例不同
证券市场线（SML, Security Market Line）： $\mu_i = r + \beta_i(\mu_M - r)$ ，描述均衡中期望收益与beta的线性关系
SML：* 异质信念市场中基于均衡参数 $(\mu_i^*, \beta_i^*)$ 估计的风险-收益关系
异质性因子（Heterogeneity Factor）： $\tilde{\varepsilon}_{ik}$ 的标准差，衡量投资者间信念分歧程度
无偏异质信念（Unbiased Heterogeneous Beliefs）： $E[\tilde{\varepsilon}_{ik}] = 0$ ，信念分歧不引入系统性乐观或悲观偏差

Levy_2006_CAPM_HeterogeneousBeliefs